Se
é contínua em
, então o Teorema Fundamental da Cálculo afirma que a derivada da função
é igual a
no intervalo
. Vamos usar este resultado para calcular a derivada da função
Verifique que, se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Cálculo que envolve o Teorema Fundamental do Cálculo. O enunciado nos pede para calcular a derivada da função definida por uma integral, especificamente:
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia de derivação. Também vamos verificar que essa função pode ser escrita como a composição de duas funções,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se
, então a derivada de
em relação a
é simplesmente a função
:
No nosso caso, temos uma função dentro da integral que não é apenas
, mas
. Isso significa que vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar
.
Passo 3
Vamos definir duas funções para facilitar:
- Função
:
De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
será:
- Função
:
Agora, observe que podemos escrever
como a composição dessas duas funções:
Passo 4
Agora, para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta
, então a derivada de
é:
Sabemos que:
-
-
, então
Passo 5
Substituindo na fórmula da regra da cadeia:
Simplificando a expressão:
Então:
Resposta
A derivada de
é: