Se f é contínua em [a, b], então o Teorema Fundamental da Cálculo afirma que a derivada da função x mapsto integrala^x f(t) d t é igual a f(x) no intervalo (a, b). Vamos usar este resultado para calcular a derivada da função
g(x)=integrala^x^3 e^t^2 d t
Verifique que, se F(x)=integrala^x e^t^2 d t e c(x)=x^3, então g(x)=(F circ c)(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Cálculo que envolve o Teorema Fundamental do Cálculo. O enunciado nos pede para calcular a derivada da função definida por uma integral, especificamente:
g(x) = integrala^x^3 e^t^2 , dt
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia de derivação. Também vamos verificar que essa função pode ser escrita como a composição de duas funções, F(x) e c(x).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se F(x) = integrala^x f(t) , dt, então a derivada de F em relação a x é simplesmente a função f(x):
F'(x) = f(x)
No nosso caso, temos uma função dentro da integral que não é apenas x, mas x^3. Isso significa que vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar g(x).

Passo 3

Vamos definir duas funções para facilitar:
  1. Função F(x):
F(x) = integrala^x e^t^2 , dt
De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de F será:
F'(x) = e^x^2
  1. Função c(x):
c(x) = x^3
Agora, observe que podemos escrever g(x) como a composição dessas duas funções:
g(x) = F(c(x)) = F(x^3)

Passo 4

Agora, para encontrar a derivada de g(x), vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta g(x) = F(c(x)), então a derivada de g é:
g'(x) = F'(c(x)) cdot c'(x)
Sabemos que:
  • F'(x) = e^x^2
  • c(x) = x^3, então c'(x) = 3x^2

Passo 5

Substituindo na fórmula da regra da cadeia:
g'(x) = F'(c(x)) cdot c'(x) = e^(c(x))^2 cdot 3x^2 = e^(x^3)^2 cdot 3x^2
Simplificando a expressão:
(x^3)^2 = x^6
Então:
g'(x) = e^x^6 cdot 3x^2

Resposta

A derivada de g(x) é:
g'(x) = 3x^2 cdot e^x^6

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