Calcule as integrais indefinidas: integral cos ^3 t d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral indefinida de cos^3 t em relação a t. Isso envolve conceitos de integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^3 t de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que cos^3 t pode ser decomposta como:
cos^3 t = cos^2 t cdot cos t
Agora, lembramos da identidade trigonométrica que relaciona cos^2 t com sin t:
cos^2 t = 1 - sin^2 t
Substituindo essa identidade na expressão original, temos:
cos^3 t = (1 - sin^2 t) cdot cos t

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = sin t
Então, a derivada de u em relação a t é:
dudt = cos t Rightarrow du = cos t , dt
Agora, substituímos u e du na integral original:
integral cos^3 t , dt = integral (1 - u^2) , du

Passo 4

Agora, a integral ficou mais simples:
integral (1 - u^2) , du = integral 1 , du - integral u^2 , du
Integrando cada termo separadamente:
integral 1 , du = u
integral u^2 , du = u^33
Então, juntando tudo:
integral (1 - u^2) , du = u - u^33 + C

Resposta

Substituindo u = sin t, a integral fica:
integral cos^3 t , dt = sin t - sin^3 t3 + C
Onde C é a constante de integração.

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