Calcule L^{-1}{e^{-\pi s/2}/(s^{2}+9)}.

Passo 1

Então, temos que calcular a transformada inversa de Laplace de . Isso envolve dois conceitos principais da matéria de Transformadas de Laplace:
  1. Transformada de Laplace Inversa: Permite encontrar a função no domínio do tempo a partir de sua transformada no domínio de Laplace.
  2. Teorema de Deslocamento no Tempo: Lida com multiplicadores exponenciais na transformada de Laplace e como eles afetam a função original.
Vamos usar esses conceitos para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma básica da função sem o termo exponencial. Temos . Sabemos que a transformada de Laplace de é . Comparando com a nossa função:
  • então .
Portanto, a transformada inversa de é .

Passo 3

Agora, vamos incluir o termo exponencial . Segundo o Teorema de Deslocamento no Tempo, se temos , então a transformada inversa é , onde:
  • é a função degrau unitário que “ativa” a função f(t) a partir de .
  • é a função original deslocada no tempo.
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando o teorema, substituímos F(s) pela sua transformada inversa que encontramos no Passo 2:
Então, a transformada inversa de será:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

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Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^(-1){(t-1)^{3} e^{t-1} U(t-1)}.
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
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Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
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Calcule as integrais indefinidas: integral cos ^3 t d t