Calcule
.
Passo 1
Então, temos que calcular a transformada inversa de Laplace de
. Isso envolve dois conceitos principais da matéria de Transformadas de Laplace:
- Transformada de Laplace Inversa: Permite encontrar a função no domínio do tempo a partir de sua transformada no domínio de Laplace.
- Teorema de Deslocamento no Tempo: Lida com multiplicadores exponenciais na transformada de Laplace e como eles afetam a função original.
Vamos usar esses conceitos para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma básica da função sem o termo exponencial. Temos
. Sabemos que a transformada de Laplace de
é
. Comparando com a nossa função:
-
então .
Portanto, a transformada inversa de
é
.
Passo 3
Agora, vamos incluir o termo exponencial
. Segundo o Teorema de Deslocamento no Tempo, se temos
, então a transformada inversa é
, onde:
-
é a função degrau unitário que “ativa” a função a partir de . -
é a função original deslocada no tempo.
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Aplicando o teorema, substituímos
pela sua transformada inversa que encontramos no Passo 2:
Então, a transformada inversa de
será:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
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Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
;
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
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Calcule as integrais indefinidas: