Calcule as integrais indefinidas: integral e^-x1+e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente, vamos usar técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como aplicar a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a fração dentro da integral: . Percebemos que o denominador é uma expressão que podemos simplificar usando uma substituição. Vamos definir uma variável nova para substituir essa parte.

Passo 3

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = 1 + e^-x
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para transformar a integral em termos de .

Passo 4

Calculando a derivada de dudx = ddx(1 + e^-x) = 0 - e^-x = -e^-x :
du = -e^-x , dx
Isso significa que:
-du = e^-x , dx
Ou seja,

Passo 5

Agora, vamos substituir integral e^-x1+e^-x , dx = integral -duu na integral original usando a expressão que encontramos:
-integral 1u , du
Simplificando:

Passo 6

A integral de integral 1u , du = ln|u| + C é um caso padrão:
-integral 1u , du = -ln|u| + C
Portanto:

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original u = 1 + e^-x , substituindo -ln|1 + e^-x| + C de volta:
Então:

Resposta

A integral indefinida é:
integral e^-x1+e^-x , dx = -ln(1 + e^-x) + C
onde é a constante de integração.

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