Calcule as integrais indefinidas. integral cos x e^sen x d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral indefinida de . Vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais encontrando uma parte da função para substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser a nossa substituição. Aqui, podemos escolher . Isso porque o derivado de é , o que aparece na nossa integral.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = cos x em relação a du = cos x , dx :
Isso significa que:
Perfeito! Assim, na nossa integral pode ser substituído por .

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
Agora, a integral ficou bem mais simples!

Passo 5

A integral de integral e^u , du = e^u + C é bem conhecida:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo e^u + C = e^sen x + C por :

Resposta

A integral indefinida é .

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