Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 0 a
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função dentro da integral:
. Perceba que no numerador temos
e no denominador temos uma função que envolve
. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável para facilitar a integração. Seja:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, vamos reescrever
em termos de
:
Substituindo essa expressão na integral original, temos:
Passo 5
Vamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição
:
-
Quando
: -
Quando
:
Então, os novos limites são de
a
.
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Note que mudamos os limites e retiramos o sinal negativo para inverter os limites de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral:
A integral de
é uma potência simples, e sabemos que:
Passo 8
Aplicando essa regra com
:
Passo 9
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral é
.
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