Calcule as integrais. integral0^pi2 cos xraiz1-sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função dentro da integral: . Perceba que no numerador temos e no denominador temos uma função que envolve . Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para facilitar a integração. Seja:
u = 1 - sin x
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -cos x Rightarrow du = -cos x , dx em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, vamos reescrever cos x , dx = -du em termos de integral cos xraiz1 - sin x , dx = integral -duraizu :
Substituindo essa expressão na integral original, temos:

Passo 5

Vamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição u = 1 - sin 0 = 1 - 0 = 1 :
  • Quando u = 1 - sin ( pi2 ) = 1 - 1 = 0 :
  • Quando :
Então, os novos limites são de a .

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^pi2 cos xraiz1 - sin x , dx = -integral1^0 duraizu = integral0^1 duraizu
Note que mudamos os limites e retiramos o sinal negativo para inverter os limites de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^1 duraizu = integral0^1 u^-1/2 , du
A integral de integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1) é uma potência simples, e sabemos que:

Passo 8

Aplicando essa regra com integral u^-1/2 , du = u^(-1/2)+1(-1/2)+1 + C = 2u^1/2 + C = 2raizu + C :

Passo 9

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
[ 2raizu ]0^1 = 2raiz1 - 2raiz0 = 2(1) - 2(0) = 2 - 0 = 2

Resposta

O valor da integral é .

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