Calcule as integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de substituição. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função dentro da integral: . Perceba que no numerador temos e no denominador temos uma função que envolve . Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para facilitar a integração. Seja:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, vamos reescrever em termos de :
Substituindo essa expressão na integral original, temos:

Passo 5

Vamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição :
  • Quando :
  • Quando :
Então, os novos limites são de a .

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
Note que mudamos os limites e retiramos o sinal negativo para inverter os limites de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
A integral de é uma potência simples, e sabemos que:

Passo 8

Aplicando essa regra com :

Passo 9

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral é .

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