Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. integral0^pi2 cos xraiz1+sen^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de a usando substituição trigonométrica. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para resolver integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma boa substituição para simplificar a integral. Observando a parte no denominador, uma boa ideia é deixar .

Passo 3

Com du = cos x , dx , precisamos determinar . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Perfeito! Isso simplifica nosso numerador.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de integral cos xraiz1 + sin^2 x , dx = integral duraiz1 + u^2 . Substituindo e , a integral fica:

Passo 5

A integral é uma forma padrão que sabemos resolver. Ela é igual a ou, de forma mais comum, .

Passo 6

Então, resolvendo a integral indefinida, temos:
integral duraiz1 + u^2 = ln(u + raiz1 + u^2) + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração originais. Como :
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 8

Substituindo os limites na expressão antiderivada:
ln(1 + raiz1 + 1^2) - ln(0 + raiz1 + 0^2) = ln(1 + raiz2) - ln(1)
Como ln(1 + raiz2) , simplifica para:

Resposta

A integral vale .

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