Calcule as integrais usando substituição trigonométrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
de
a
usando substituição trigonométrica. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para resolver integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma boa substituição para simplificar a integral. Observando a parte
no denominador, uma boa ideia é deixar
.
Passo 3
Com
, precisamos determinar
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Perfeito! Isso simplifica nosso numerador.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
, a integral fica:
Passo 5
A integral
é uma forma padrão que sabemos resolver. Ela é igual a
ou, de forma mais comum,
.
Passo 6
Então, resolvendo a integral indefinida, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos aplicar os limites de integração originais. Como
:
- Quando
, - Quando
,
Passo 8
Substituindo os limites na expressão antiderivada:
Como
, simplifica para:
Resposta
A integral vale
.
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