Calcule as integrais indefinidas
integral raiz[3]sen(t) cos (t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . O conteúdo que vamos usar aqui é a técnica de substituição, que é ótima para simplificar integrais complicadas. Precisamos identificar uma parte da integral que, se substituída por uma variável nova, tornará a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar du = cos(t) , dt . Agora, precisamos encontrar . Derivando em relação a , temos:
Isso é ótimo porque temos na nossa integral original. Assim, podemos substituir esses termos.

Passo 3

Substituindo na integral, fica:
integral raiz[3]u , du
Agora, integral u^1/3 , du é o mesmo que , então a integral fica:

Passo 4

Para resolver integral u^n , du = u^n+1n+1 + C , vamos usar a regra de integração para potências. A regra geral é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando a regra com integral u^1/3 , du = u^1/3 + 11/3 + 1 + C = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C :

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original 34 (sin(t))^4/3 + C , lembrando que :

Resposta

integral raiz[3]sin(t) cos(t) , dt = 34 ( sin(t) )^4/3 + C

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