Determine a função f(x) tal que integral f(x) d x=x^2+12 cos (2 x)+c.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a função cuja integral é . Estamos trabalhando com cálculo integral e derivadas, que são partes fundamentais do estudo de funções.

Passo 2

Para encontrar , precisamos lembrar que a integral de é dada, e para recuperar a partir da integral, devemos calcular a derivada da expressão . Isso porque a derivada da integral de uma função retorna a própria função original, conforme o teorema fundamental do cálculo.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da expressão separadamente:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de utiliza a regra da cadeia. Primeiro, derivamos , que é , e depois multiplicamos pelo coeficiente , resultando em .
  • A derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Somando as derivadas dos termos, temos:
f(x) = 2x - sin(2x)

Resposta

A função é .

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