Calcule as integrais indefinidas, em seguida derivar as respostas e conferir os resultados:
integral(9 t^2+1raiz[3]t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A questão pede para calcular a integral de em relação a , depois derivar a resposta e conferir se está tudo certo. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral e diferencial, e vamos precisar das regras básicas de integração e derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral (9 t^2 + 1raiz[3]t^2) dt = integral 9 t^2 dt + integral 1raiz[3]t^2 dt
Isso funciona porque a integral da soma é igual à soma das integrais.

Passo 3

Vamos integrar a primeira parte:
integral 9 t^2 dt
A regra básica de integração para integral t^n dt = t^n+1n+1 + C é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
integral 9 t^2 dt = 9 cdot t^33 + C = 3 t^3 + C
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda parte:
integral 1raiz[3]t^2 dt
Primeiro, vamos reescrever a expressão com expoentes fracionários:
1raiz[3]t^2 = t^-2/3
Agora, aplicamos a regra de integração:
integral t^-2/3 dt = t^-2/3 + 1-2/3 + 1 + C = t^1/31/3 + C = 3 t^1/3 + C

Passo 5

Agora, juntamos as duas integrais que calculamos:
integral (9 t^2 + 1raiz[3]t^2) dt = 3 t^3 + 3 t^1/3 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos derivar a nossa resposta para conferir se voltamos ao que tínhamos antes. A derivada de ddt (3 t^3) = 9 t^2 é:
ddt (3 t^1/3) = 3 cdot 13 t^-2/3 = t^-2/3 = 1raiz[3]t^2
E a derivada de 9 t^2 + 1raiz[3]t^2 é:
Então, a derivada total é:
Que é exatamente o integrando original, confirmando que nossa integral está correta.

Resposta

A integral indefinida é:
integral (9 t^2 + 1raiz[3]t^2) dt = 3 t^3 + 3 t^1/3 + C
Derivando a resposta, temos:
ddt (3 t^3 + 3 t^1/3 + C) = 9 t^2 + 1raiz[3]t^2
Isso confirma que a integral foi calculada corretamente.

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