Calcule as integrais indefinidas, em seguida derivar as respostas e conferir os resultados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
, depois derivar a resposta e conferir se está tudo certo. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral e diferencial, e vamos precisar das regras básicas de integração e derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso funciona porque a integral da soma é igual à soma das integrais.
Passo 3
Vamos integrar a primeira parte:
A regra básica de integração para
é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos integrar a segunda parte:
Primeiro, vamos reescrever a expressão com expoentes fracionários:
Agora, aplicamos a regra de integração:
Passo 5
Agora, juntamos as duas integrais que calculamos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos derivar a nossa resposta para conferir se voltamos ao que tínhamos antes. A derivada de
é:
E a derivada de
é:
Então, a derivada total é:
Que é exatamente o integrando original, confirmando que nossa integral está correta.
Resposta
A integral indefinida é:
Derivando a resposta, temos:
Isso confirma que a integral foi calculada corretamente.
Exercícios relacionados
Seja
uma função duas vezes diferenciável em
. Suponha que a equação da reta tangente à representação geométrica do gráfico da função
no ponto
é dada por
. Se a função
é dada por
, encontre a expressão da função
.
Calcule as integrais indefinidas
Seja
uma função duas vezes diferenciável em
. Suponhamos que a função
é dada por
para todo
. Encontre a expressão da função
, sabendo-se que o ponto
é um do gráfico e nesse ponto o coeficiente angular da reta tangente é -2 .
Calcule as integrais indefinidas