Calcule as integrais indefinidas, em seguida derivar as respostas e conferir os resultados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A questão pede para calcular a integral de em relação a , depois derivar a resposta e conferir se está tudo certo. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral e diferencial, e vamos precisar das regras básicas de integração e derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso funciona porque a integral da soma é igual à soma das integrais.

Passo 3

Vamos integrar a primeira parte:
A regra básica de integração para é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda parte:
Primeiro, vamos reescrever a expressão com expoentes fracionários:
Agora, aplicamos a regra de integração:

Passo 5

Agora, juntamos as duas integrais que calculamos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos derivar a nossa resposta para conferir se voltamos ao que tínhamos antes. A derivada de é:
E a derivada de é:
Então, a derivada total é:
Que é exatamente o integrando original, confirmando que nossa integral está correta.

Resposta

A integral indefinida é:
Derivando a resposta, temos:
Isso confirma que a integral foi calculada corretamente.

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