Calcule as integrais indefinidas, em seguida derivar as respostas e conferir os resultados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
, depois derivar a resposta e conferir se está tudo certo. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral e diferencial, e vamos precisar das regras básicas de integração e derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso funciona porque a integral da soma é igual à soma das integrais.
Passo 3
Vamos integrar a primeira parte:
A regra básica de integração para
é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos integrar a segunda parte:
Primeiro, vamos reescrever a expressão com expoentes fracionários:
Agora, aplicamos a regra de integração:
Passo 5
Agora, juntamos as duas integrais que calculamos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos derivar a nossa resposta para conferir se voltamos ao que tínhamos antes. A derivada de
é:
E a derivada de
é:
Então, a derivada total é:
Que é exatamente o integrando original, confirmando que nossa integral está correta.
Resposta
A integral indefinida é:
Derivando a resposta, temos:
Isso confirma que a integral foi calculada corretamente.