Seja f: R -> R uma função duas vezes diferenciável em R. Suponha que a equação da reta tangente à representação geométrica do gráfico da função f no ponto 1,3 é dada por y = x + 2. Se a função f'' : R -> R é dada por f''(x) = 6 x, x em R, encontre a expressão da função f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função que é duas vezes diferenciável, ou seja, podemos tirar a primeira e a segunda derivada dela. Sabemos que a reta tangente ao gráfico de no ponto é . Além disso, a segunda derivada da função é .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e integrais, já que vamos voltar da segunda derivada para encontrar a função original .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Sabemos que . Para encontrar , vamos integrar :
Aqui, é uma constante de integração que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função integrando a primeira derivada :
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 4

Sabemos que a reta tangente à função no ponto é . Isso nos dá duas informações importantes:
  1. O ponto está na função, ou seja, .
  2. A inclinação da reta tangente é igual à derivada da função nesse ponto, então (porque a derivada da reta é 1).
Vamos usar essas duas condições para encontrar as constantes e .

Passo 5

Primeiro, usando :
Agora, sabemos que .

Passo 6

Em seguida, usamos :
Agora, sabemos que .

Passo 7

Com e , podemos escrever a expressão completa da função :

Resposta

A expressão da função é .

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