Seja uma função duas vezes diferenciável em . Suponha que a equação da reta tangente à representação geométrica do gráfico da função no ponto é dada por . Se a função é dada por , encontre a expressão da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função que é duas vezes diferenciável, ou seja, podemos tirar a primeira e a segunda derivada dela. Sabemos que a reta tangente ao gráfico de no ponto é . Além disso, a segunda derivada da função é .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e integrais, já que vamos voltar da segunda derivada para encontrar a função original .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Sabemos que . Para encontrar , vamos integrar :
Aqui, é uma constante de integração que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função integrando a primeira derivada :
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 4

Sabemos que a reta tangente à função no ponto é . Isso nos dá duas informações importantes:
  1. O ponto está na função, ou seja, .
  2. A inclinação da reta tangente é igual à derivada da função nesse ponto, então (porque a derivada da reta é 1).
Vamos usar essas duas condições para encontrar as constantes e .

Passo 5

Primeiro, usando :
Agora, sabemos que .

Passo 6

Em seguida, usamos :
Agora, sabemos que .

Passo 7

Com e , podemos escrever a expressão completa da função :

Resposta

A expressão da função é .

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Calcule as integrais indefinidas
Determine a função tal que .
Calcule as integrais indefinidas, em seguida derivar as respostas e conferir os resultados:
Seja uma função duas vezes diferenciável em . Suponhamos que a função é dada por para todo . Encontre a expressão da função , sabendo-se que o ponto é um do gráfico e nesse ponto o coeficiente angular da reta tangente é -2 .