Seja
uma função duas vezes diferenciável em
. Suponha que a equação da reta tangente à representação geométrica do gráfico da função
no ponto
é dada por
. Se a função
é dada por
, encontre a expressão da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função
que é duas vezes diferenciável, ou seja, podemos tirar a primeira e a segunda derivada dela. Sabemos que a reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
. Além disso, a segunda derivada da função é
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e integrais, já que vamos voltar da segunda derivada para encontrar a função original
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Sabemos que
. Para encontrar
, vamos integrar
:
Aqui,
é uma constante de integração que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
integrando a primeira derivada
:
Aqui,
é outra constante de integração.
Passo 4
Sabemos que a reta tangente à função
no ponto
é
. Isso nos dá duas informações importantes:
- O ponto
está na função, ou seja, . - A inclinação da reta tangente é igual à derivada da função nesse ponto, então
(porque a derivada da reta é 1).
Vamos usar essas duas condições para encontrar as constantes
e
.
Passo 5
Primeiro, usando
:
Agora, sabemos que
.
Passo 6
Em seguida, usamos
:
Agora, sabemos que
.
Passo 7
Com
e
, podemos escrever a expressão completa da função
:
Resposta
A expressão da função é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas
Determine a função
tal que
.
Calcule as integrais indefinidas, em seguida derivar as respostas e conferir os resultados:
Seja
uma função duas vezes diferenciável em
. Suponhamos que a função
é dada por
para todo
. Encontre a expressão da função
, sabendo-se que o ponto
é um do gráfico e nesse ponto o coeficiente angular da reta tangente é -2 .