Encontre a solução geral da EDO: dy/dx = e^(2x) + 3y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, especificamente das equações lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x). Ele é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a tornar a equação fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Então, temos:

Passo 5

Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de com respeito a x. Ou seja:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para y multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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