Seja
a solução geral da
. O valor de
é:
d)
;
d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
e queremos achar o limite de
quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para resolver EDOs de primeira ordem e entender como funções exponenciais se comportam no limite.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a EDO
. Essa é uma equação linear de primeira ordem, e a gente pode resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Então, isolando
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 0 muito mais rápido do que
tende ao infinito. Portanto, o produto de
por
também tende a 0.
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é
.
Exercícios relacionados
Seja
a solução geral da
. O valor de
é:
c) 0;
c) 0;
Seja
a solução geral da
. O valor de
é:
b) ;
b)
Encontre a solução geral da EDO:
.
Calcule as Integrais Indefinidas.