Seja y(t) a solução geral da EDO y^prime+2 y=e^-2 t. O valor de lim t +infty y(t) é:
d) 12;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por e queremos achar o limite de quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para resolver EDOs de primeira ordem e entender como funções exponenciais se comportam no limite.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a EDO mu(t) = e^integral 2 dt = e^2t . Essa é uma equação linear de primeira ordem, e a gente pode resolver usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^2t y' + 2 e^2t y = e^2t e^-2t
Simplificando o lado direito:
e^2t y' + 2 e^2t y = 1
O lado esquerdo agora é a derivada de ddt (e^2t y) = 1 :

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a e^2t y = integral 1 dt = t + C :
y(t) = e^-2t (t + C)
Onde é a constante de integração. Então, isolando :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limt to +infty y(t) = limt to +infty e^-2t (t + C) quando tende ao infinito:
Sabemos que tende a 0 muito mais rápido do que tende ao infinito. Portanto, o produto de por também tende a 0.

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é .

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