Calcule as integrais indefinidas.
integral sen(t)cos ^5(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de em relação a sen(t)cos ^5(t). Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que vai simplificar a integral. Olhando para a expressão , percebemos que o numerador é e o denominador envolve potências de sen(t)cos ^5(t). Então, uma boa escolha é deixar sen(t).

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a t. Se u = cos(t), então:
Isso significa que:
Vamos usar essa relação para substituir na integral.

Passo 4

Substituindo u = cos(t) e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-5 em relação a u. A integral de u^n é u^n+1n+1, desde que n neq -1. Então:
-integral u^-5 du = -( u^-4-4 ) + C = 14u^4 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar para a variável original t. Lembrando que u = cos(t), substituímos de volta:
14u^4 + C = 14cos^4(t) + C

Resposta

A integral indefinida é:

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