Calcule as integrais indefinidas.
integral 4 x+12 x^2+x+1 d x

Passo 1

Estamos lidando com um exercício de cálculo integral que pede para calcular a integral indefinida da função 4x +12x^2+x+1. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de integração de funções racionais e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, observe que o numerador 4x + 1 é exatamente a derivada do denominador 2x^2 + x + 1. Vamos verificar isso calculando a derivada do denominador:
ddx(2x^2 + x +1) = 4x +1

Passo 3

Como o numerador é a derivada do denominador, podemos usar uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 2x^2 + x +1
Então, a derivada de u em relação a x é:
du = (4x +1) dx

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral 4x +12x^2 +x +1 dx = integral duu

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural:
integral duu = ln|u| + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para obter a solução em termos de x:
ln|2x^2 +x +1| + C

Resposta

A integral é ln(2x^2 +x +1) + C.

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