Calcule as integrais indefinidas.
integral sen^4 theta cos theta d theta

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral indefinida de sin^4 theta cos theta , dtheta. Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde vamos precisar saber como usar substituição para resolver integrais que têm funções compostas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observa que temos sin^4 theta multiplicado por cos theta. Isso sugere que a gente pode deixar u = sin theta. Assim, a derivada de u em relação a theta é du = cos theta , dtheta, que está presente na integral. Isso vai facilitar a resolução.

Passo 3

Com a substituição u = sin theta, e du = cos theta , dtheta, a integral fica:
integral sin^4 theta cos theta , dtheta = integral u^4 , du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = sin theta de volta na expressão:
u^55 + C = sin^5 theta5 + C

Resposta

A integral indefinida é sin^5 theta5 + C.

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integralgamma -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y, em que gamma:[0,1] R^2 é uma curva C^1 por partes, com imagem contida no conjunto Omega =(x, y) in R^2 mid y>0 cup(x, y) in R^2 mid x<0, tal que gamma(0)=(1,1) e gamma(1)=(-1,-1).