Calcule as integrais indefinidas.
integral e^sen(theta) cos (theta) d theta

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa integral indefinida: . A gente vai usar o Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição pra facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma substituição que simplifique a integral. Observa que temos u = sin(theta) no expoente e dudtheta = cos(theta) multiplicando. Isso é uma dica boa pra usar substituição. Então, vamos deixar:
du = cos(theta) dtheta
Agora, vamos derivar em relação a :
O que significa que:

Passo 3

Com essa substituição, a nossa integral original fica mais simples. Vamos substituir na integral:
integral e^sin(theta) cos(theta) dtheta = integral e^u du
Agora, a gente só precisa integrar integral e^u du = e^u + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

Finalmente, voltando para a variável original e^u + C = e^sin(theta) + C , temos:
e^sin(theta) + C
Então, a integral indefinida é:

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Calcule
integralgamma -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y, em que gamma:[0,1] R^2 é uma curva C^1 por partes, com imagem contida no conjunto Omega =(x, y) in R^2 mid y>0 cup(x, y) in R^2 mid x<0, tal que gamma(0)=(1,1) e gamma(1)=(-1,-1).
Resolva as equações por separação de variáveis: dx/dy + e^(3x) dy = 0