Calcule as integrais indefinidas: integral e^sen x sen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de em relação a . Nosso objetivo aqui é encontrar uma função cuja derivada seja . Para isso, vamos usar um método de integração chamado substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando uma parte dela em uma nova variável. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o integrando para facilitar a visualização. Sabemos que integral e^sin x cdot sin 2x , dx = integral e^sin x cdot 2 sin x cos x , dx pode ser expresso como graças à identidade trigonométrica . Então, a integral fica assim:

Passo 3

Agora, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observamos que temos u = sin x e dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx multiplicados, e isso é uma boa pista para fazermos uma substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a , obtemos:

Passo 4

Com essa substituição, vamos reescrever a integral em termos de integral e^u cdot 2u , du . Substituindo e , temos:
Isso simplifica bastante a integral, pois agora estamos lidando com uma função mais fácil de integrar.

Passo 5

Vamos agora calcular a integral 2 integral u cdot e^u , du . Podemos tirar o 2 da integral:
integral v , dw = v cdot w - integral w , dv
Para integrar integral u cdot e^u , du = u cdot e^u - integral e^u , du = u cdot e^u - e^u + C , usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
2 integral u cdot e^u , du = 2 (u cdot e^u - e^u) + C = 2 e^u (u - 1) + C
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Então, voltando à nossa integral original:

Passo 6

Finalmente, substituímos 2 e^sin x (sin x - 1) + C de volta para , já que fizemos a substituição inicial . Assim, a solução fica:

Resposta

A integral indefinida é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

1-2 Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.
  1. integral x^2 ln x d x ; u=ln x, d v=x^2 d x
  2. integral theta cos theta d theta ; u=theta, d v=cos theta d theta
Calcule as integrais indefinidas: integral 2 x(1+x)^2 d x
Utilizando as relações trigonométricas da soma e subtração de arcos, a saber,
sen(theta1 pm theta2)=sen theta1 cos theta2 pm sen theta2 cos theta1
e
cos (theta1 pm theta2)=cos theta1 cos theta2 mp sen theta1 sen theta2
demonstre as seguintes fórmulas:
sen theta1 cos theta2 & =12[sen(theta1+theta2)+sen(theta1-theta2)] cos theta1 cos theta2 & =12[cos (theta1+theta2)+cos (theta1-theta2)] sen theta1 sen theta2 & =12[cos (theta1-theta2)-cos (theta1+theta2)]
Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine: (b) lim t 0(r(t) times r^prime(t))