Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de
em relação a
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma função cuja derivada seja
. Para isso, vamos usar um método de integração chamado substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando uma parte dela em uma nova variável. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o integrando para facilitar a visualização. Sabemos que
pode ser expresso como
graças à identidade trigonométrica
. Então, a integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observamos que temos
e
multiplicados, e isso é uma boa pista para fazermos uma substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Passo 4
Com essa substituição, vamos reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
, temos:
Isso simplifica bastante a integral, pois agora estamos lidando com uma função mais fácil de integrar.
Passo 5
Vamos agora calcular a integral
. Podemos tirar o 2 da integral:
Para integrar
, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Então, voltando à nossa integral original:
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta para
, já que fizemos a substituição inicial
. Assim, a solução fica:
Resposta
A integral indefinida é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
1-2 Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de
e
indicadas.
Calcule as integrais indefinidas:
Utilizando as relações trigonométricas da soma e subtração de arcos, a saber,
e
demonstre as seguintes fórmulas:
Seja
. Determine: (b)