1-2 Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.
  1. integral x^2 ln x d x ; u=ln x, d v=x^2 d x
  2. integral theta cos theta d theta ; u=theta, d v=cos theta d theta

Passo 1

Vamos resolver duas integrais usando o método de integração por partes. Esse método ajuda a simplificar integrais que são produtos de duas funções. Para isso, vamos escolher partes específicas das integrais para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeira Integral:
Aqui, escolhemos:

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando , temos
  • Integrando , temos

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral x^2 ln x , dx = ln x cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral x^33 cdot 1x dx = integral x^23 dx = 13 cdot x^33 = x^39

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
integral x^2 ln x , dx = x^3 ln x3 - x^39 + C

Passo 7

Segunda Integral:
Aqui, escolhemos:

Passo 8

Calculando e :
  • Derivando , temos
  • Integrando , temos

Passo 9

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral theta cos theta , dtheta = theta sin theta - integral sin theta cdot 1 , dtheta

Passo 10

Resolvendo a integral restante:
integral sin theta , dtheta = -cos theta
Então:
integral theta cos theta , dtheta = theta sin theta + cos theta + C

Resposta

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