1-2 Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.
  1. integral x^2 ln x d x ; u=ln x, d v=x^2 d x
  2. integral theta cos theta d theta ; u=theta, d v=cos theta d theta

Passo 1

Vamos resolver duas integrais usando o método de integração por partes. Esse método ajuda a simplificar integrais que são produtos de duas funções. Para isso, vamos escolher partes específicas das integrais para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeira Integral:
Aqui, escolhemos:

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando , temos
  • Integrando , temos

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral x^2 ln x , dx = ln x cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral x^33 cdot 1x dx = integral x^23 dx = 13 cdot x^33 = x^39

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
integral x^2 ln x , dx = x^3 ln x3 - x^39 + C

Passo 7

Segunda Integral:
Aqui, escolhemos:

Passo 8

Calculando e :
  • Derivando , temos
  • Integrando , temos

Passo 9

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral theta cos theta , dtheta = theta sin theta - integral sin theta cdot 1 , dtheta

Passo 10

Resolvendo a integral restante:
integral sin theta , dtheta = -cos theta
Então:
integral theta cos theta , dtheta = theta sin theta + cos theta + C

Resposta

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Calcule as integrais indefinidas: integral 2 x(1+x)^2 d x
integral cos ^n x d x=1n cos ^n-1 x sen x+n-1n integral cos ^n-2 x d x
(b) Use a parte (a) para calcular integral cos ^2 x d x.
© Use as partes (a) e (b) para calcular integral cos ^4 x d x.
49. (a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
integral0^pi / 2 sen^n x d x=n-1n integral0^pi / 2 sen^n-2 x d x
onde n >= 2 é um inteiro.
(b) Use a parte (a) para calcular integral0^pi / 2 sen^3 x d x e integral0^pi / 2 sen^5 x d x.
© Use a parte (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno,
integral0^pi / 2 sen^2 n+1 x d x=2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot 2 n3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n+1)
Calcule as integrais indefinidas: integral e^sen x sen 2 x d x
Utilizando as relações trigonométricas da soma e subtração de arcos, a saber,
sen(theta1 pm theta2)=sen theta1 cos theta2 pm sen theta2 cos theta1
e
cos (theta1 pm theta2)=cos theta1 cos theta2 mp sen theta1 sen theta2
demonstre as seguintes fórmulas:
sen theta1 cos theta2 & =12[sen(theta1+theta2)+sen(theta1-theta2)] cos theta1 cos theta2 & =12[cos (theta1+theta2)+cos (theta1-theta2)] sen theta1 sen theta2 & =12[cos (theta1-theta2)-cos (theta1+theta2)]