Calcule as integrais indefinidas: integral 2 x(1+x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de manipulação algébrica e conhecimentos básicos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a resolução. Observe que temos . Podemos reescrever o numerador para relacioná-lo com o denominador.

Passo 3

Vamos dividir o numerador 2x(1+x)^2 = 2x(1+x)(1+x) = 2x(1+x)^2 por 2x(1+x)^2 = 2(x + 1 - 1)(1+x)^2 = 2(x + 1)(1+x)^2 - 2(1+x)^2 . Podemos fazer isso da seguinte maneira:
2x(1+x)^2 = 21+x - 2(1+x)^2
Agora, vamos separar o termo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, a integral fica mais simples:
integral 2x(1+x)^2 dx = integral ( 21+x - 2(1+x)^2 ) dx
Vamos integrar termo a termo.

Passo 5

Integramos integral 21+x dx = 2 ln|1+x| :
integral 2(1+x)^2 dx = 2 cdot ( -11+x ) = -21+x
E agora, integramos :

Passo 6

Juntando as integrais:
2 ln|1+x| - 21+x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é .

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© Use a parte (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno,
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