Calcule as integrais indefinidas: integral t cos (t^2) dt

Passo 1

Beleza, a gente tem para resolver a integral indefinida integral t cos (t^2) dt. Essa integral envolve uma função multiplicada por uma outra função complexa, então vamos usar o método de substituição, também conhecido como troca de variável, para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Observando cos(t^2), percebemos que o argumento t^2 pode ser nossa nova variável. Então, vamos definir:
u = t^2

Passo 3

Agora, precisamos derivar u em relação a t para encontrar du. Fazendo isso:
dudt = 2t Rightarrow du = 2t , dt
Isso nos permite isolar t , dt:
t , dt = du2

Passo 4

Vamos substituir u e t , dt na integral original:
integral t cos(t^2) , dt = integral cos(u) cdot du2 = 12 integral cos(u) , du

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples: 12 integral cos(u) , du. Sabemos que a integral de cos(u) em relação a u é sin(u) + C, onde C é a constante de integração. Então:
12 sin(u) + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = t^2 de volta na expressão:
12 sin(t^2) + C

Resposta

A integral é igual a 12 sin(t^2) + C

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