Calcule as integrais indefinidas: integral tg(raizt)raizt d t

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral indefinida integral tg(raizt)raizt , dt. Essa questão envolve cálculo de integrais e mais especificamente, o uso de substituição para simplificar a integral. Vamos precisar lembrar como fazer uma substituição adequada para transformar a integral em algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável. Olhando para tg(raizt) e raizt no denominador, uma boa escolha é definir uma nova variável para simplificar:
Vamos chamar:
u = raizt

Passo 3

Agora, precisamos expressar t e dt em termos de u. Como u = raizt, elevando os dois lados ao quadrado, temos:
t = u^2
Para encontrar dt, derivamos ambos os lados em relação a u:
dtdu = 2u Rightarrow dt = 2u , du

Passo 4

Substituímos agora t e dt na integral original:
integral tg(raizt)raizt , dt = integral tg(u)u cdot 2u , du
Observe que u no denominador e u no numerador se cancelam:
= integral 2 tg(u) , du

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
2 integral tg(u) , du
Sabemos que a integral de tg(u) é ln|cos(u)| com um sinal negativo, ou seja:
integral tg(u) , du = -ln|cos(u)| + C
Então, multiplicamos por 2:
2 ( -ln|cos(u)| ) + C = -2 ln|cos(u)| + C

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta para termos em termos de t, lembrando que u = raizt:
-2 ln|cos(raizt)| + C

Resposta

A integral indefinida é:
-2 ln|cos(raizt)| + C

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