Calcule as integrais indefinidas
integral e^te^t+4 d t

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral indefinida de e^te^t + 4 dt. Esse tipo de integral geralmente envolve técnicas de substituição, então vamos usar essa abordagem para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o denominador de u, ou seja:
u = e^t + 4

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a t para ajudar na substituição. Derivando ambos os lados, temos:
dudt = e^t
Isso significa que:
du = e^t dt

Passo 4

Com essa substituição, vamos reescrever a integral original em termos de u. Substituindo e^t dt por du, a integral fica:
integral e^te^t + 4 dt = integral duu

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é um logaritmo natural. Então, resolvendo a integral, temos:
integral duu = ln|u| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original t substituindo u por e^t + 4:
ln|u| + C = ln(e^t + 4) + C

Resposta

A integral é igual a ln(e^t + 4) + C.

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