Calcule a integral indefinida.
integral e^theta cos e^theta d theta

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de troca de variável ou substituição. Para resolver, vamos utilizar uma substituição simples que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a expressão. Observamos que u = e^theta aparece tanto na base da função exponencial quanto no argumento do cosseno. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir .

Passo 3

Calculamos a derivada de dudtheta = e^theta :
du = e^theta , dtheta
Isso significa que:
Agora podemos substituir por na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral e^theta cos e^theta , dtheta = integral cos u , du
Essa nova integral é mais simples e podemos resolver facilmente.

Passo 5

A integral de integral cos u , du = sin u + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original sin u + C = sin(e^theta) + C substituindo :

Resposta

A integral indefinida é:
integral e^theta cos e^theta , dtheta = sin(e^theta) + C

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