Seja uma função duas vezes diferenciável em . Suponhamos que a função é dada por para todo . Encontre a expressão da função , sabendo-se que o ponto é um do gráfico e nesse ponto o coeficiente angular da reta tangente é -2 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é duas vezes diferenciável, ou seja, podemos calcular suas duas derivadas. Sabemos que a segunda derivada para todo número real . Também sabemos que o ponto está no gráfico de e que, nesse ponto, a reta tangente tem inclinação . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e integrar para encontrar a expressão da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a segunda derivada de uma função nos dá informações sobre a concavidade dela. Mas, como a segunda derivada aqui é constante ( ), isso sugere que a função original é um polinômio de segundo grau, ou seja, uma parábola. Vamos integrar essa segunda derivada para encontrar a primeira derivada.

Passo 3

Integrando em relação a , obtemos a primeira derivada . A integral de uma constante é a constante vezes mais uma constante de integração. Então:
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Sabemos que no ponto , a inclinação da reta tangente é , ou seja, . Vamos usar isso para encontrar o valor de :
Então, a primeira derivada é:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar a função original . Integrando em relação a , temos:
Aqui, é outra constante de integração que precisamos determinar.

Passo 6

Para encontrar , usamos a informação de que o ponto está no gráfico de . Ou seja, quando , . Vamos substituir na expressão de :

Resposta

A expressão da função é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas, em seguida derivar as respostas e conferir os resultados:
Seja uma função duas vezes diferenciável em . Suponha que a equação da reta tangente à representação geométrica do gráfico da função no ponto é dada por . Se a função é dada por , encontre a expressão da função .
Calcule as integrais indefinidas
Calcule as integrais indefinidas