Seja
uma função duas vezes diferenciável em
. Suponhamos que a função
é dada por
para todo
. Encontre a expressão da função
, sabendo-se que o ponto
é um do gráfico e nesse ponto o coeficiente angular da reta tangente é -2 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que é duas vezes diferenciável, ou seja, podemos calcular suas duas derivadas. Sabemos que a segunda derivada
para todo número real
. Também sabemos que o ponto
está no gráfico de
e que, nesse ponto, a reta tangente tem inclinação
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e integrar para encontrar a expressão da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a segunda derivada de uma função nos dá informações sobre a concavidade dela. Mas, como a segunda derivada aqui é constante (
), isso sugere que a função original
é um polinômio de segundo grau, ou seja, uma parábola. Vamos integrar essa segunda derivada para encontrar a primeira derivada.
Passo 3
Integrando
em relação a
, obtemos a primeira derivada
. A integral de uma constante é a constante vezes
mais uma constante de integração. Então:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Sabemos que no ponto
, a inclinação da reta tangente é
, ou seja,
. Vamos usar isso para encontrar o valor de
:
Então, a primeira derivada é:
Passo 5
Agora, vamos integrar
para encontrar a função original
. Integrando
em relação a
, temos:
Aqui,
é outra constante de integração que precisamos determinar.
Passo 6
Para encontrar
, usamos a informação de que o ponto
está no gráfico de
. Ou seja, quando
,
. Vamos substituir na expressão de
:
Resposta
A expressão da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas, em seguida derivar as respostas e conferir os resultados:
Seja
uma função duas vezes diferenciável em
. Suponha que a equação da reta tangente à representação geométrica do gráfico da função
no ponto
é dada por
. Se a função
é dada por
, encontre a expressão da função
.
Calcule as integrais indefinidas
Calcule as integrais indefinidas