Calcule a integral indefinida.
integral 8 x^2x^3+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável). Vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Olhando para o denominador u = x^3 + 2 , parece uma boa candidata para substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 dx para substituir x^2 dx = du3 na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral 8 x^2x^3+2 dx = integral 8u cdot du3 e 83 integral 1u du na integral original:
Podemos simplificar os constantes:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
83 integral 1u du
Sabemos que a integral de 83 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos voltar à variável original substituindo 83 ln|x^3 + 2| + C :

Resposta

A integral indefinida é:
83 ln|x^3 + 2| + C

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