Calcule as integrais indefinidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a matéria envolvida é cálculo integral, especificamente integrais racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar a fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é menor que o grau do denominador. No nosso caso, o numerador é (grau 1) e o denominador é (grau 2). Como o grau do numerador é menor, podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador . Para isso, precisamos encontrar dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .
Então, reescrevemos o denominador:
Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos expressar a fração como uma soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Vamos achar os valores de e . Escolha valores de que simplifiquem a equação.
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
  • Para , fazemos uma substituição , então ou :
  • Para , temos diretamente:

Passo 8

Substituindo de volta, a integral completa fica:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas:
Calcule as integrais indefinidas:
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(b) ;
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
© ;