Calcule as integrais indefinidas: integral 4 x-12 x^2+7 x-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a matéria envolvida é cálculo integral, especificamente integrais racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar a fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é menor que o grau do denominador. No nosso caso, o numerador é (grau 1) e o denominador é (grau 2). Como o grau do numerador é menor, podemos seguir direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador 2x^2 + 8x - x - 4 = (2x^2 + 8x) - (x + 4) = 2x(x + 4) -1(x + 4) = (2x - 1)(x + 4) . Para isso, precisamos encontrar dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .
Então, reescrevemos o denominador:
Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos expressar a fração 4x - 1(2x - 1)(x + 4) = A2x - 1 + Bx + 4 como uma soma de frações parciais:
4x - 1 = A(x + 4) + B(2x - 1)
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Vamos achar os valores de 4(12) - 1 = A(12 + 4) + B(0) Rightarrow 2 - 1 = A(92) Rightarrow 1 = 9A2 Rightarrow A = 29 e 4(-4) - 1 = A(0) + B(2(-4) - 1) Rightarrow -16 -1 = B(-9) Rightarrow -17 = -9B Rightarrow B = 179 . Escolha valores de que simplifiquem a equação.
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos 4x - 1(2x - 1)(x + 4) = 2/92x - 1 + 17/9x + 4 e integral 4x - 12x^2 + 7x - 4 dx = 29 integral 12x - 1 dx + 179 integral 1x + 4 dx , podemos escrever:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
  • Para integral 1u cdot du2 = 12 ln|u| = 12 ln|2x - 1| , fazemos uma substituição ln|x + 4| , então ou :
  • Para , temos diretamente:

Passo 8

Substituindo de volta, a integral completa fica:
29 cdot 12 ln|2x - 1| + 179 ln|x + 4| + C = 19 ln|2x - 1| + 179 ln|x + 4| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 19 ln|2x - 1| + 179 ln|x + 4| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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