Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar a imagem da função e esboçar o gráfico dela, sabendo que o domínio é todo o conjunto dos números reais ( ). Para isso, vamos usar conhecimentos de funções lineares e entender o que significa imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir quando a gente coloca cada número do domínio nela. No caso, o domínio é , que inclui todos os números reais. Então, precisamos ver para quais valores pode resultar.

Passo 3

Vamos analisar a função . Essa é uma função linear, porque ela pode ser escrita na forma , onde é a inclinação e é o intercepto com o eixo y. Aqui, e . Isso significa que a inclinação da linha é -1 e ela passa pela origem (0,0).

Passo 4

Como o domínio é , vamos testar os limites. Se for um número muito grande positivo, vai ser muito grande negativo. Se for muito grande negativo, vai ser muito grande positivo. Ou seja, não há restrições nos valores que pode assumir.

Passo 5

Portanto, a imagem de também é todo o conjunto dos números reais, , porque para qualquer valor real que a gente escolher para , sempre tem um correspondente no domínio que gera esse valor.

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Como mencionamos, é uma linha reta com inclinação -1 que passa pela origem. Isso significa que para cada unidade que a gente anda para a direita no eixo x, a gente desce uma unidade no eixo y, e vice-versa.

Resposta

A imagem da função é e o gráfico é uma linha reta com inclinação -1 que passa pela origem, formando uma reta decrescente que se estende infinitamente em ambas as direções.

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