Calcule as integrais indefinidas: integral x^4+x+1x^3-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui estamos trabalhando com uma função racional, que é o quociente de dois polinômios. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e depois usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, percebemos que o grau do numerador ( ) é maior que o do denominador ( ). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de prosseguir. Vamos dividir por .

Passo 3

Fazendo a divisão:
x^4 + x + 1x^3 - x = x + 1 + x + 1x^3 - x
Então, a integral fica:
integral ( x + 1 + x + 1x^3 - x ) , dx

Passo 4

Agora, simplificamos a fração x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) . Primeiro, fatoramos o denominador:
x + 1x(x - 1)(x + 1) = 1x(x - 1)
Então, temos:
Isso porque cancela com no denominador.

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral (x + 1) , dx + integral 1x(x - 1) , dx
Integrando termo a termo:
  1. 1x(x - 1) = -1x + 1x - 1
  2. integral ( -1x + 1x - 1 ) , dx = -ln|x| + ln|x - 1|
  3. Para , usamos frações parciais:
Então:

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
12x^2 + x - ln|x| + ln|x - 1| + C

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