Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções racionais. Vamos precisar usar a técnica de frações parciais para simplificar essa expressão e encontrar a antiderivada.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar assim:
Passo 3
Agora, queremos expressar a fração
como a soma de duas frações mais simples. Ou seja, vamos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Explicando: estamos eliminando os denominadores para simplificar a equação.
Passo 5
Agora, expandimos os termos no lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para o termo com
:
Para o termo constante:
Passo 7
Resolvemos o sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 2:
Passo 8
Agora, somamos as duas equações:
Substituímos
na primeira equação:
Passo 9
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 10
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 11
Sabemos que a integral de
é
, então aplicamos isso a cada termo:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é:
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Calcule as integrais indefinidas:
A massa de certas substâncias radioativas decresce a uma taxa proporcional à própria massa. A meia-vida
de uma substância como essa é definida como o tempo transcorrido para que sua massa se reduza à metade da inicial. Considere uma substância radioativa
que cuja meia-vida é de 5000 anos.
(b) Determine a função que dá a massa da substância
, com massa inicial
, em função do tempo medido em anos.
(b) Determine a função
Calcule as integrais indefinidas:
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é
:
(b) ;
(b)