Calcule as integrais indefinidas: integral 5 x-2x^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções racionais. Vamos precisar usar a técnica de frações parciais para simplificar essa expressão e encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar assim:

Passo 3

Agora, queremos expressar a fração 5x - 2(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 como a soma de duas frações mais simples. Ou seja, vamos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Para encontrar 5x - 2 = A(x + 2) + B(x - 2) e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Explicando: estamos eliminando os denominadores para simplificar a equação.

Passo 5

Agora, expandimos os termos no lado direito:
5x - 2 = A x + 2A + B x - 2B
Agrupando os termos semelhantes:
5x - 2 = (A + B)x + (2A - 2B)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para o termo com A + B = 5 :
2A - 2B = -2
Para o termo constante:

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
Primeira equação: A - B = -1
Segunda equação:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 2:

Passo 8

Agora, somamos as duas equações:
(A + B) + (A - B) = 5 + (-1) Rightarrow 2A = 4 Rightarrow A = 2
Substituímos 2 + B = 5 Rightarrow B = 3 na primeira equação:

Passo 9

Agora que encontramos 5x - 2(x - 2)(x + 2) = 2x - 2 + 3x + 2 e , podemos reescrever a fração original:

Passo 10

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral 2x - 2 , dx + integral 3x + 2 , dx

Passo 11

Sabemos que a integral de 2 ln|x - 2| + 3 ln|x + 2| + C é , então aplicamos isso a cada termo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
2 ln|x - 2| + 3 ln|x + 2| + C

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