Calcule as integrais indefinidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções racionais. Vamos precisar usar a técnica de frações parciais para simplificar essa expressão e encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar assim:

Passo 3

Agora, queremos expressar a fração como a soma de duas frações mais simples. Ou seja, vamos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Explicando: estamos eliminando os denominadores para simplificar a equação.

Passo 5

Agora, expandimos os termos no lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para o termo com :
Para o termo constante:

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 2:

Passo 8

Agora, somamos as duas equações:
Substituímos na primeira equação:

Passo 9

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:

Passo 10

Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 11

Sabemos que a integral de é , então aplicamos isso a cada termo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas:
A massa de certas substâncias radioativas decresce a uma taxa proporcional à própria massa. A meia-vida de uma substância como essa é definida como o tempo transcorrido para que sua massa se reduza à metade da inicial. Considere uma substância radioativa que cuja meia-vida é de 5000 anos.
(b) Determine a função que dá a massa da substância , com massa inicial , em função do tempo medido em anos.
Calcule as integrais indefinidas:
Identifique a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo, cujo domínio é :
(b) ;