(b) Use a parte (a) para calcular
.
© Use as partes (a) e (b) para calcular
.
49. (a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
onde
é um inteiro.
(b) Use a parte (a) para calcular
e
.
© Use a parte (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno,
© Use as partes (a) e (b) para calcular
49. (a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
(b) Use a parte (a) para calcular
© Use a parte (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno,
Passo 1
Beleza, vamos olhar o enunciado! Temos várias integrais envolvendo potências de cosseno e seno. O conteúdo que vamos usar aqui é fórmulas de redução para integrar funções trigonométricas elevadas a uma potência. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essas fórmulas passo a passo, sem pular nada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (b) do primeiro exercício: calcular
usando a fórmula de redução dada:
Aqui,
. Substituindo na fórmula:
Passo 3
Simplificando:
A integral de 1 em relação a
é simplesmente
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos para a parte © do primeiro exercício: calcular
usando as partes (a) e (b). Usando a fórmula de redução com
:
Simplificando:
Já calculamos
na parte (b), então substituímos:
Passo 5
Simplificando ainda mais:
Passo 6
Agora, vamos para a pergunta 49(a). Queremos mostrar que:
Usando a fórmula de redução para integrais de potências de seno, que é semelhante à que usamos para o cosseno.
Passo 7
Aplicando a fórmula de redução para
:
Ao avaliar de 0 a
, o termo
se anula nos limites, pois
e
. Então:
E assim provamos o que queríamos.
Passo 8
Passando para a pergunta 49(b): calcular
e
usando a parte (a).
Primeiro, para
:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 9
Agora, para
:
Passo 10
Finalmente, na pergunta 49©, queremos mostrar que para potências ímpares de seno:
Usando a fórmula de redução repetidamente:
Para
:
Para
:
E assim por diante, percebemos que cada passo multiplica por
, onde
vai de 1 a
, resultando no produto:
Resposta
As integrais foram calculadas da seguinte forma:
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- Para potências ímpares de seno,
Exercícios relacionados
Obtenha
:
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22. -
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Calcule as integrais indefinidas:
1-2 Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de
e
indicadas.