integral cos ^n x d x=1n cos ^n-1 x sen x+n-1n integral cos ^n-2 x d x
(b) Use a parte (a) para calcular integral cos ^2 x d x.
© Use as partes (a) e (b) para calcular integral cos ^4 x d x.
49. (a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
integral0^pi / 2 sen^n x d x=n-1n integral0^pi / 2 sen^n-2 x d x
onde n >= 2 é um inteiro.
(b) Use a parte (a) para calcular integral0^pi / 2 sen^3 x d x e integral0^pi / 2 sen^5 x d x.
© Use a parte (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno,
integral0^pi / 2 sen^2 n+1 x d x=2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot 2 n3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos olhar o enunciado! Temos várias integrais envolvendo potências de cosseno e seno. O conteúdo que vamos usar aqui é fórmulas de redução para integrar funções trigonométricas elevadas a uma potência. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essas fórmulas passo a passo, sem pular nada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (b) do primeiro exercício: calcular integral cos^n x , dx = 1n cos^n-1 x sin x + n-1n integral cos^n-2 x , dx usando a fórmula de redução dada:
integral cos^2 x , dx = 12 cos^1 x sin x + 2-12 integral cos^0 x , dx
Aqui, . Substituindo na fórmula:

Passo 3

Simplificando:
integral cos^2 x , dx = 12 cos x sin x + 12 integral 1 , dx
A integral de 1 em relação a integral cos^2 x , dx = 12 cos x sin x + 12 x + C é simplesmente , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos para a parte © do primeiro exercício: calcular integral cos^4 x , dx = 14 cos^3 x sin x + 4-14 integral cos^2 x , dx usando as partes (a) e (b). Usando a fórmula de redução com integral cos^4 x , dx = 14 cos^3 x sin x + 34 integral cos^2 x , dx :
integral cos^4 x , dx = 14 cos^3 x sin x + 34 ( 12 cos x sin x + 12 x ) + C
Simplificando:
Já calculamos na parte (b), então substituímos:

Passo 5

Simplificando ainda mais:
integral cos^4 x , dx = 14 cos^3 x sin x + 38 cos x sin x + 38 x + C

Passo 6

Agora, vamos para a pergunta 49(a). Queremos mostrar que:
integral0^pi / 2 sin^n x , dx = n-1n integral0^pi / 2 sin^n-2 x , dx
Usando a fórmula de redução para integrais de potências de seno, que é semelhante à que usamos para o cosseno.

Passo 7

Aplicando a fórmula de redução para integral sin^n x , dx = -1n sin^n-1 x cos x + n-1n integral sin^n-2 x , dx :
integral0^pi / 2 sin^n x , dx = n-1n integral0^pi / 2 sin^n-2 x , dx
Ao avaliar de 0 a , o termo se anula nos limites, pois e . Então:
E assim provamos o que queríamos.

Passo 8

Passando para a pergunta 49(b): calcular integral0^pi / 2 sin^3 x , dx = 3-13 integral0^pi / 2 sin^1 x , dx = 23 integral0^pi / 2 sin x , dx e integral0^pi / 2 sin x , dx = -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1 usando a parte (a).
Primeiro, para integral0^pi / 2 sin^3 x , dx = 23 times 1 = 23 :
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 9

Agora, para integral0^pi / 2 sin^5 x , dx = 5-15 integral0^pi / 2 sin^3 x , dx = 45 times 23 = 815 :

Passo 10

Finalmente, na pergunta 49©, queremos mostrar que para potências ímpares de seno:
integral0^pi / 2 sin^2n+1 x , dx = 2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot 2n3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n+1)
Usando a fórmula de redução repetidamente:
Para integral0^pi / 2 sin^3 x , dx = 23 :
integral0^pi / 2 sin^5 x , dx = 45 times 23 = 815
Para 2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot 2n3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n+1) :
E assim por diante, percebemos que cada passo multiplica por , onde vai de 1 a , resultando no produto:

Resposta

As integrais foram calculadas da seguinte forma:
  • Para potências ímpares de seno,

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