A massa de certas substâncias radioativas decresce a uma taxa proporcional à própria massa. A meia-vida de uma substância como essa é definida como o tempo transcorrido para que sua massa se reduza à metade da inicial. Considere uma substância radioativa que cuja meia-vida é de 5000 anos.
(b) Determine a função que dá a massa da substância , com massa inicial , em função do tempo medido em anos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a massa de uma substância radioativa diminui ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é o decaimento radioativo, que é um processo onde a quantidade de uma substância diminui de forma proporcional à quantidade presente. Para resolver isso, vamos precisar usar a função exponencial que modela esse tipo de decaimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a taxa de decaimento é proporcional à massa atual da substância. Isso significa que podemos escrever uma equação diferencial assim:
Aqui, é a massa no tempo e é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que a meia-vida é o tempo que leva para a massa reduzir para a metade. No nosso caso, anos. Usando a fórmula da meia-vida para decaimento exponencial:
Podemos resolver para :
Substituindo anos:

Passo 4

Agora que temos , podemos escrever a função que descreve a massa ao longo do tempo:
Isso simplifica para:

Resposta

A função que dá a massa da substância em função do tempo é:
ou equivalente,

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Determinar o domínio das funções a seguir.
(a) .
Resolver as equações a seguir.
(d)
Calcule as integrais indefinidas:
Calcule as integrais indefinidas: