A massa de certas substâncias radioativas decresce a uma taxa proporcional à própria massa. A meia-vida
de uma substância como essa é definida como o tempo transcorrido para que sua massa se reduza à metade da inicial. Considere uma substância radioativa
que cuja meia-vida é de 5000 anos.
(b) Determine a função
que dá a massa da substância
, com massa inicial
, em função do tempo medido em anos.
(b) Determine a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a massa de uma substância radioativa diminui ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é o decaimento radioativo, que é um processo onde a quantidade de uma substância diminui de forma proporcional à quantidade presente. Para resolver isso, vamos precisar usar a função exponencial que modela esse tipo de decaimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a taxa de decaimento é proporcional à massa atual da substância. Isso significa que podemos escrever uma equação diferencial assim:
Aqui,
é a massa no tempo
e
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que a meia-vida
é o tempo que leva para a massa reduzir para a metade. No nosso caso,
anos. Usando a fórmula da meia-vida para decaimento exponencial:
Podemos resolver para
:
Substituindo
anos:
Passo 4
Agora que temos
, podemos escrever a função que descreve a massa ao longo do tempo:
Isso simplifica para:
Resposta
A função que dá a massa da substância
em função do tempo é:
ou equivalente,
Exercícios relacionados
Determinar o domínio das funções a seguir.
(a) .
(a)
Resolver as equações a seguir.
(d)
(d)
Calcule as integrais indefinidas:
Calcule as integrais indefinidas: