Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão usando substituição. Observe que temos
tanto fora quanto dentro da função cosseno. Então, vamos definir uma nova variável para representar
. Vamos chamar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, para substituir o
na integral. Derivando ambos os lados:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. A partir da equação anterior:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 6
A integral de
em relação a
é
. Então,
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta para termos em
:
Resposta
A integral indefinida é:
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