Calcule as integrais indefinidas
integral e^x cos (2 e^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão usando substituição. Observe que temos u = 2 e^x tanto fora quanto dentro da função cosseno. Então, vamos definir uma nova variável para representar . Vamos chamar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2 e^x implies du = 2 e^x dx em relação a , ou seja, , para substituir o na integral. Derivando ambos os lados:

Passo 4

Queremos expressar du = 2 e^x dx implies e^x dx = du2 em termos de . A partir da equação anterior:

Passo 5

Agora, substituímos integral e^x cos(2 e^x) , dx = integral cos(u) cdot du2 = 12 integral cos(u) , du e na integral original:

Passo 6

A integral de 12 integral cos(u) , du = 12 sin(u) + C em relação a é . Então,
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos 12 sin(u) + C = 12 sin(2 e^x) + C de volta para termos em :

Resposta

A integral indefinida é:
integral e^x cos (2 e^x) , dx = 12 sin(2 e^x) + C

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