Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Isso significa que a expressão
fica mais simples, pois será
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Então:
Passo 4
Precisamos também expressar
em termos de
. Como
, podemos reescrever
como:
Passo 5
Agora substituímos
e
na integral original:
Isso simplifica para:
Passo 6
Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Passo 7
Agora, podemos integrar cada termo separadamente usando a regra de potência, que diz que:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a regra de potência:
Passo 9
Somando as integrais:
Passo 10
Finalmente, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral indefinida é:
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