Calcule a integral indefinida.

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Isso significa que a expressão fica mais simples, pois será .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Então:

Passo 4

Precisamos também expressar em termos de . Como , podemos reescrever como:

Passo 5

Agora substituímos e na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 6

Vamos multiplicar os termos dentro da integral:

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente usando a regra de potência, que diz que:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a regra de potência:

Passo 9

Somando as integrais:

Passo 10

Finalmente, substituímos de volta por :

Resposta

A integral indefinida é:

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