Calcule a integral indefinida.
integral x raizx-4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral x raizx-4 , dx. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
u = x - 4
Isso significa que a expressão raizx-4 fica mais simples, pois será raizu.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
du = ddx(x - 4) , dx = 1 cdot dx
Então:
dx = du

Passo 4

Precisamos também expressar x em termos de u. Como u = x - 4, podemos reescrever x como:
x = u + 4

Passo 5

Agora substituímos x e dx na integral original:
integral x raizx-4 , dx = integral (u + 4) raizu , du
Isso simplifica para:
integral (u + 4) u^1/2 , du

Passo 6

Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
integral (u cdot u^1/2 + 4 cdot u^1/2) , du = integral (u^3/2 + 4u^1/2) , du

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente usando a regra de potência, que diz que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a regra de potência:
integral u^3/2 , du = u^5/25/2 = 25 u^5/2
integral 4u^1/2 , du = 4 cdot u^3/23/2 = 83 u^3/2

Passo 9

Somando as integrais:
25 u^5/2 + 83 u^3/2 + C

Passo 10

Finalmente, substituímos u de volta por x - 4:
25 (x - 4)^5/2 + 83 (x - 4)^3/2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x raizx-4 , dx = 25 (x - 4)^5/2 + 83 (x - 4)^3/2 + C

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