Calcule as integrais indefinidas: integral x^2 sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de . Esse tipo de integral envolve polinômios multiplicados por funções trigonométricas, e para resolver a gente vai precisar usar a técnica de integração por partes. Vou te mostrar como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
A ideia aqui é escolher partes da nossa integral original para serem e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
Essas escolhas facilitam a resolução porque o dv = sen(x) , dx Rightarrow v = -cos(x) é fácil de encontrar e o grau do polinômio diminui quando derivamos .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^2 cdot sen(x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
= x^2 cdot (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot 2x , dx
Agora, temos uma nova integral: = -x^2 cos(x) + 2 integral x cos(x) , dx , que também precisamos resolver por partes.

Passo 5

Para resolver u = x Rightarrow du = dx , vamos de novo usar integração por partes.
Escolhemos:
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sen(x)

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
integral x cos(x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo:
(O termo , mas o sinal fica positivo após multiplicar pelos sinais anteriores.)

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o 2:

Resposta

A integral indefinida é:

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