Calcule as integrais indefinidas:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de . Esse tipo de integral envolve polinômios multiplicados por funções trigonométricas, e para resolver a gente vai precisar usar a técnica de integração por partes. Vou te mostrar como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
A ideia aqui é escolher partes da nossa integral original para serem e .

Passo 3

Vamos escolher:
Essas escolhas facilitam a resolução porque o é fácil de encontrar e o grau do polinômio diminui quando derivamos .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Agora, temos uma nova integral: , que também precisamos resolver por partes.

Passo 5

Para resolver , vamos de novo usar integração por partes.
Escolhemos:

Passo 6

Aplicando a fórmula novamente:
Substituindo:
(O termo , mas o sinal fica positivo após multiplicar pelos sinais anteriores.)

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o 2:

Resposta

A integral indefinida é:

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Sejam e números naturais. Calcule
Calcule as integrais:
Suponha que seja contínua em . Verifique que
Calcule o divergente do campo vetorial .
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