Suponha que
seja contínua em
. Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
cuja primeira derivada
é contínua no intervalo
. A tarefa é verificar que:
Isso envolve conceitos de cálculo diferencial e integral, especialmente derivadas de segunda ordem e integrais definidas. Para resolver isso, vamos utilizar a expansão de Taylor com o termo integral que envolve a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão de Taylor para uma função
em torno de
:
onde
está entre
e
. Porém, queremos uma forma que envolva uma integral, então vamos usar uma versão integral do teorema de Taylor.
Passo 3
A versão integral da expansão de Taylor diz que:
Para chegar a essa expressão, a gente integra a derivada de
multiplicada por
. Isso nos leva a incluir a segunda derivada
na integral.
Passo 4
Vamos derivar a expressão passo a passo. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
e integrando de
a
:
Esse termo representa a contribuição da curvatura da função entre
e
.
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos a expressão completa:
Isso mostra que o valor de
é igual ao valor inicial
, mais a inclinação inicial
vezes a variação
, mais a área sob a curva de
de
a
.
Resposta
A igualdade está verificada conforme a expansão de Taylor com o termo integral envolvendo a segunda derivada.