Suponha que f^prime seja contínua em [a, b]. Verifique que
f(b)=f(a)+f^prime(a)(b-a)+integrala^b(b-t) f^prime prime(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + integrala^b (b - t) f''(t) dt cuja primeira derivada é contínua no intervalo . A tarefa é verificar que:
Isso envolve conceitos de cálculo diferencial e integral, especialmente derivadas de segunda ordem e integrais definidas. Para resolver isso, vamos utilizar a expansão de Taylor com o termo integral que envolve a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expansão de Taylor para uma função f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + f''(xi)2(b - a)^2 em torno de :
onde está entre e . Porém, queremos uma forma que envolva uma integral, então vamos usar uma versão integral do teorema de Taylor.

Passo 3

A versão integral da expansão de Taylor diz que:
f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + integrala^b (b - t) f''(t) dt
Para chegar a essa expressão, a gente integra a derivada de multiplicada por . Isso nos leva a incluir a segunda derivada na integral.

Passo 4

Vamos derivar a expressão passo a passo. Sabemos que:
ddt [f'(t)] = f''(t)
Multiplicando ambos os lados por integrala^b (b - t) f''(t) dt e integrando de a :
Esse termo representa a contribuição da curvatura da função entre e .

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos a expressão completa:
f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + integrala^b (b - t) f''(t) dt
Isso mostra que o valor de é igual ao valor inicial , mais a inclinação inicial vezes a variação , mais a área sob a curva de de a .

Resposta

A igualdade está verificada conforme a expansão de Taylor com o termo integral envolvendo a segunda derivada.

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