Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de de a . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar propriedades das funções periódicas e fórmulas de integração de produtos de seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando integramos produtos de funções trigonométricas como e sobre um intervalo simétrico, podemos usar fórmulas de produtos para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos utilizar a seguinte fórmula de produto de funções trigonométricas:
Essa identidade nos ajuda a transformar o produto em uma soma de senos, o que facilita a integração.
Passo 4
Aplicando a fórmula, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Sabemos que:
Onde é uma constante.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de a :
Para :
Como -1m + n cos((m + n)x) |-pi^pi = -1m + n [cos((m + n)pi) - cos(-(m + n)pi)] , temos:
cos(-theta) = cos(theta)
Mesma lógica se aplica para :
= -1m + n [cos((m + n)pi) - cos((m + n)pi)] = 0
Passo 7
Portanto, substituindo de volta na expressão original: