Sejam m e n números naturais. Calcule integral-pi^pi cos m x sen n x d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de de cos(m x) cdot sen(n x) a -pi. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar propriedades das funções periódicas e fórmulas de integração de produtos de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando integramos produtos de funções trigonométricas como cos(m x) e sobre um intervalo simétrico, podemos usar fórmulas de produtos para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos utilizar a seguinte fórmula de produto de funções trigonométricas:
Essa identidade nos ajuda a transformar o produto em uma soma de senos, o que facilita a integração.

Passo 4

Aplicando a fórmula, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Sabemos que:
Onde integral sen(kx) , dx = -1k cos(kx) + C é uma constante.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de -pi a pi:
Para :
integral-pi^pi sen((m + n)x) , dx
Como -1m + n cos((m + n)x) |-pi^pi = -1m + n [cos((m + n)pi) - cos(-(m + n)pi)] , temos:
cos(-theta) = cos(theta)
Mesma lógica se aplica para :
= -1m + n [cos((m + n)pi) - cos((m + n)pi)] = 0

Passo 7

Portanto, substituindo de volta na expressão original:
12 [0 - 0] = 0

Resposta

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