Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a expansão de expressões quadráticas e as fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo . Isso significa multiplicar a expressão por ela mesma:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral com os termos expandidos:
Podemos separar essa integral em três partes:

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Integral de :
    Usamos a identidade trigonométrica :
    Avaliada de a , fica:
  2. Integral de :
    Usamos a substituição , então :
    Avaliada de a :
  3. Integral de :
    Usamos a identidade trigonométrica :
    Avaliada de a :

Resposta

Somando todas as partes:
Portanto, a integral vale .

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(d) á
Sejam e números naturais. Calcule
Calcule as integrais indefinidas: