Calcule as integrais: integral0^pi2(sen x+cos x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de a . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a expansão de expressões quadráticas e as fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo . Isso significa multiplicar a expressão por ela mesma:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral com os termos expandidos:
Podemos separar essa integral em três partes:

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
  1. Integral de :
    Usamos a identidade trigonométrica :
    Avaliada de integral sen^2 x , dx = integral 1 - cos 2x2 , dx = x2 - sen 2x4 + C a [ x2 - sen 2x4 ]0^pi2 = pi22 - 0 - ( 0 - 0 ) = pi4 , fica:
  2. Integral de :
    Usamos a substituição , então 2 integral sen x cos x , dx = 2 integral u , du = 2 cdot u^22 = u^2 + C = sen^2 x + C :
    Avaliada de sen^2 ( pi2 ) - sen^2 (0) = 1 - 0 = 1 a integral cos^2 x , dx = integral 1 + cos 2x2 , dx = x2 + sen 2x4 + C :
  3. Integral de [ x2 + sen 2x4 ]0^pi2 = pi22 + 0 - ( 0 + 0 ) = pi4 :
    Usamos a identidade trigonométrica :
    Avaliada de a :

Resposta

Somando todas as partes:
pi4 + 1 + pi4 = pi2 + 1
Portanto, a integral vale .

Exercícios relacionados