A região que delimita a integral a seguir pode ser descrita tanto como região do tipo I quanto uma região do tipo II. Escolha a maneira mais fácil e calcule , D é limitada por e , com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral dupla da função sobre a região . Essa região é delimitada pelas curvas e , considerando apenas . Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos decidir se será mais fácil integrar em relação a primeiro (região do tipo I) ou em relação a primeiro (região do tipo II). Vamos escolher a maneira mais simples para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região . As curvas são (uma reta) e (uma parábola). Como , estamos olhando para a parte direita do eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração. Igualando :
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .
Passo 3
Agora, vamos decidir como configurar a integral dupla. Podemos integrar em relação a primeiro (região do tipo I) ou em relação a primeiro (região do tipo II). Vamos ver qual fica mais simples.
Região do tipo I: varia entre e , e varia de 0 a 1.
Região do tipo II: varia entre e , e varia de 0 a 1.
Ambas as formas são viáveis, mas integrar em relação a primeiro (tipo I) é mais direto nesse caso. Vamos seguir por esse caminho.
Passo 4
Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Para a região do tipo I:
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada , varia de a .
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado acima em relação a integral0^1 (x^3 + x^2 - 2x^4) , dx , de 0 a 1: