A região que delimita a integral a seguir pode ser descrita tanto como região do tipo I quanto uma região do tipo II. Escolha a maneira mais fácil e calcule integral duplaD(x^2+2 y) d A, D é limitada por y=x e y=x^2, com x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral dupla da função sobre a região . Essa região é delimitada pelas curvas e , considerando apenas . Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos decidir se será mais fácil integrar em relação a primeiro (região do tipo I) ou em relação a primeiro (região do tipo II). Vamos escolher a maneira mais simples para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região x = x^2 implies x^2 - x = 0 implies x(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1 . As curvas são (uma reta) e (uma parábola). Como , estamos olhando para a parte direita do eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração. Igualando :
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos decidir como configurar a integral dupla. Podemos integrar em relação a primeiro (região do tipo I) ou em relação a primeiro (região do tipo II). Vamos ver qual fica mais simples.
Região do tipo I: varia entre e , e varia de 0 a 1.
Região do tipo II: varia entre e , e varia de 0 a 1.
Ambas as formas são viáveis, mas integrar em relação a primeiro (tipo I) é mais direto nesse caso. Vamos seguir por esse caminho.

Passo 4

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Para a região do tipo I:
integral duplaD (x^2 + 2y) , dA = integralx=0^1 integraly=x^2^y=x (x^2 + 2y) , dy , dx
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada , varia de a .

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integraly=x^2^y=x (x^2 + 2y) , dy :
integral (x^2) , dy + integral 2y , dy = x^2 y + y^2 |x^2^x
Integrando termo a termo:
x^2 (x) + x^2 - [x^2 (x^2) + (x^2)^2] = x^3 + x^2 - (x^4 + x^4) = x^3 + x^2 - 2x^4
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado acima em relação a integral0^1 (x^3 + x^2 - 2x^4) , dx , de 0 a 1:
x^44 + x^33 - 2x^55 |0^1
Integrando termo a termo:
( 14 + 13 - 25 ) - 0 = 14 + 13 - 25
Substituindo os limites:

Passo 7

Vamos calcular essa expressão:
14 + 13 - 25 = 1560 + 2060 - 2460 = 15 + 20 - 2460 = 1160

Resposta

O valor da integral dupla é .

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