Calcule as integrais indefinidas:

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral indefinida de . Vamos usar as regras básicas de integração para resolver cada parte separadamente. Basicamente, vamos encontrar uma função cuja derivada seja .

Passo 2

Vamos começar com o primeiro termo: .
Sabemos que a integral de em relação a é . Como temos , que é apenas uma constante multiplicando , a integral será:
Mas vamos deixar o para o final.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo termo: .
Lembre-se que é igual a . A regra de integração para potências de diz que:
Aplicando isso aqui, temos:

Passo 4

Por último, vamos integrar .
A integral de é uma função bem conhecida:

Resposta

Juntando todas as partes que integramos, a integral indefinida é:
Onde é a constante de integração.

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Prove (usando a definição):
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Prove (usando a definição):
Dados e tem-se:
Determine o campo vetorial gradiente da função .