Prove (usando a definição):
Dados lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L e c in R tem-se: lim (x, y) (a, b) c cdot f(x, y)=c cdot L

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que, se o limite de lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L, quando lim (x, y) (a, b) c cdot f(x, y)=c cdot L se aproxima de é , ou seja,
e é um número real, então o limite de quando se aproxima de é , isto é,
Vamos usar a definição de limite para provar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que
lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L
se, para todo |f(x, y) - L| < varepsilon , existe um tal que, sempre que , então

Passo 3

Agora, queremos provar que
lim (x, y) (a, b) c cdot f(x, y)=c cdot L
Usando a definição de limite, precisamos mostrar que para todo |c cdot f(x, y) - c cdot L| < varepsilon , existe um tal que, se , então

Passo 4

Observe que
|c cdot f(x, y) - c cdot L| = |c| cdot |f(x, y) - L|
Isso é uma aplicação da propriedade do valor absoluto que permite fatorar constantes.

Passo 5

Para garantir que |f(x, y) - L| < varepsilon|c|, , precisamos que
desde que . Se , então , e a desigualdade é automaticamente satisfeita.

Passo 6

Como sabemos que |f(x, y) - L| < varepsilon|c| , para o , existe um tal que, se , então

Passo 7

Portanto, substituindo de volta, temos que
|c cdot f(x, y) - c cdot L| = |c| cdot |f(x, y) - L| < |c| cdot varepsilon|c| = varepsilon

Resposta

Assim, provamos que
lim (x, y) (a, b) c cdot f(x, y)=c cdot L

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