Prove (usando a definição):
Dados e tem-se:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que, se o limite de quando se aproxima de é , ou seja,
e é um número real, então o limite de quando se aproxima de é , isto é,
Vamos usar a definição de limite para provar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que
se, para todo , existe um tal que, sempre que , então

Passo 3

Agora, queremos provar que
Usando a definição de limite, precisamos mostrar que para todo , existe um tal que, se , então

Passo 4

Observe que
Isso é uma aplicação da propriedade do valor absoluto que permite fatorar constantes.

Passo 5

Para garantir que , precisamos que
desde que . Se , então , e a desigualdade é automaticamente satisfeita.

Passo 6

Como sabemos que , para o , existe um tal que, se , então

Passo 7

Portanto, substituindo de volta, temos que

Resposta

Assim, provamos que

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Calcule as integrais indefinidas:
Prove (usando a definição):
Determine o campo vetorial gradiente da função .
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
onde