Prove (usando a definição):
Dados
e
tem-se:
Dados
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que, se o limite de
quando
se aproxima de
é
, ou seja,
e
é um número real, então o limite de
quando
se aproxima de
é
, isto é,
Vamos usar a definição de limite para provar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
Passo 3
Agora, queremos provar que
Usando a definição de limite, precisamos mostrar que para todo
, existe um
tal que, se
, então
Passo 4
Observe que
Isso é uma aplicação da propriedade do valor absoluto que permite fatorar constantes.
Passo 5
Para garantir que
, precisamos que
desde que
. Se
, então
, e a desigualdade é automaticamente satisfeita.
Passo 6
Como sabemos que
, para o
, existe um
tal que, se
, então
Passo 7
Portanto, substituindo de volta, temos que
Resposta
Assim, provamos que
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas:
Prove (usando a definição):
Determine o campo vetorial gradiente
da função
.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
onde