Determine o campo vetorial gradiente da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo vetorial gradiente da função . Pra isso, vamos usar o conceito de gradiente, que é basicamente um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar em relação a . Quando a gente faz uma derivada parcial, consideramos como uma constante. Então:
Como é constante em relação a , a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Dessa vez, consideramos como constante:
A derivada de em relação a é , então:

Resposta

O campo vetorial gradiente de é:

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Prove (usando a definição):
Dados e tem-se:
Calcule as integrais indefinidas:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta:
onde
Encontre a reta tangente à curva de interseção do gráfico da função , com o plano no ponto de abcissa .