Calcule as integrais indefinidas. integral e^z+1e^z+z d z

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral indefinida de e^z+1e^z+z em relação a z. Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de substituição de variáveis, que nos ajuda a simplificar integrais mais complexas.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição que torne a integral mais simples. Observe que o denominador e^z + z aparece relacionado ao numerador e^z + 1. Por isso, vamos definir:
t = e^z + z
Agora, vamos calcular a derivada de t em relação a z para encontrar dt:
dtdz = e^z + 1
Isso significa que:
dt = (e^z + 1) , dz

Passo 3

Agora, substituímos t e dt na integral original. A integral passa a ser:
integral e^z+1e^z+z , dz = integral dtt

Passo 4

A integral integral dtt é uma integral básica que conhecemos. Ela é igual ao logaritmo natural de t mais a constante de integração C:
integral dtt = ln|t| + C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original z substituindo t de volta na expressão:
ln|t| + C = ln(e^z + z) + C

Resposta

A integral indefinida é:
ln(e^z + z) + C

Exercícios relacionados