Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Este exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica essencial para integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, vamos encontrar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos novamente usar integração por partes:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o -2:
Resposta
Portanto, a integral de
é:
onde
é a constante de integração.
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e
quando
para determinar o valor exato de:
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