Calcule as seguintes integrais. integral ln ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Este exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica essencial para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln^2 x e dv = dx
Agora, vamos encontrar du = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx e v = integral dv = integral dx = x :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln^2 x , dx = u cdot v - integral v , du = ln^2 x cdot x - integral x cdot 2 ln xx , dx
Simplificando a integral restante:
ln^2 x cdot x - 2 integral ln x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = ln x e dv = dx . Vamos novamente usar integração por partes:
du = 1x , dx e v = x
integral ln x , dx = ln x cdot x - integral x cdot 1x , dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
ln^2 x cdot x - 2 integral ln x , dx = ln^2 x cdot x - 2 (x ln x - x)
Distribuindo o -2:
ln^2 x cdot x - 2x ln x + 2x

Resposta

Portanto, a integral de integral ln^2 x , dx = x ln^2 x - 2x ln x + 2x + C é:
onde é a constante de integração.

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