Calcule as integrais trigonométricas. integral tg^4 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício pertence à matéria de Cálculo Integral, especificamente no estudo das integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão tan^4 x = (tan^2 x)^2 = (sec^2 x - 1)^2 usando a identidade trigonométrica . Assim:

Passo 3

Agora, expandimos o quadrado:
(sec^2 x - 1)^2 = sec^4 x - 2sec^2 x + 1
Então, a integral fica:
integral tan^4 x , dx = integral (sec^4 x - 2sec^2 x + 1) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral sec^4 x , dx - 2 integral sec^2 x , dx + integral 1 , dx

Passo 5

Sabemos que:
integral sec^2 x , dx = tan x + C
E:
integral 1 , dx = x + C
Agora, precisamos resolver . Para isso, usamos a identidade e aplicamos substituição.

Passo 6

Fazendo a substituição integral sec^4 x , dx = integral (tan^2 x + 1) sec^2 x , dx = integral (u^2 + 1) , du = u^33 + u + C = tan^3 x3 + tan x + C , então . Assim:

Passo 7

Agora, juntando todas as integrais:
integral tan^4 x , dx = ( tan^3 x3 + tan x ) - 2(tan x) + x + C
Simplificando:
integral tan^4 x , dx = tan^3 x3 - tan x + x + C

Resposta

A integral de integral tan^4 x , dx = tan^3 x3 - tan x + x + C em relação a é:

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