Calcule os limites
f) lim x +infty raiz[x]x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites de funções exponenciais. Para resolver esse tipo de limite, vamos precisar usar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz raiz[x]x = x^1x de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Sabemos que uma raiz pode ser expressa como uma potência fracionária. Ou seja,

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de L = limx +infty x^1x quando tende ao infinito. Para facilitar, vamos usar o logaritmo natural. Seja o limite que queremos encontrar:

Passo 4

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, temos:
ln L = limx +infty ln(x^1x)
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, fica:
ln L = limx +infty ln xx

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o limite de limx +infty ln xx = 0 quando tende ao infinito. Sabemos que, à medida que cresce, cresce, mas muito mais lentamente do que em si. Portanto,

Passo 6

Então, temos que:
ln L = 0
Para encontrar L = e^0 = 1 , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:

Resposta

O limite é igual a 1.

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