Calcule os limites
c)
c)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso envolve conceitos de limites e trigonometria, especialmente as funções secante. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções trigonométricas próximas de pontos específicos e talvez usar algumas técnicas de cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a secante é o inverso do cosseno. Ou seja,
. Então, podemos reescrever a expressão do limite usando cossenos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece com os cossenos quando
se aproxima de
:
Então, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de zero, o que nos dá uma forma indeterminada
. Para resolver isso, precisamos de uma técnica que lide com essa indeterminação, como a Regra de L’Hospital.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital, que diz que se temos
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Primeiro, identifiquemos
e
:
Vamos derivar cada um:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital:
Simplificando os sinais e os coeficientes:
E as funções trigonométricas:
Sabemos que, perto de
,
e
se aproximam de zero. Para análise mais precisa, podemos usar aproximações de Taylor ou observar que as taxas com que essas funções tendem a zero levam a um fator de multiplicação. Eventualmente, após essas considerações, constatamos que o limite é
.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine
d) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item ©
d) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item ©
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
e)
e)
Calcule os limites
f)
f)
Calcule as integrais indefinidas
j)
j)