Calcule os limites
c)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve conceitos de limites e trigonometria, especialmente as funções secante. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções trigonométricas próximas de pontos específicos e talvez usar algumas técnicas de cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a secante é o inverso do cosseno. Ou seja, . Então, podemos reescrever a expressão do limite usando cossenos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com os cossenos quando se aproxima de :
Então, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de zero, o que nos dá uma forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos de uma técnica que lide com essa indeterminação, como a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital, que diz que se temos ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Primeiro, identifiquemos e :
Vamos derivar cada um:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital:
Simplificando os sinais e os coeficientes:
E as funções trigonométricas:
Sabemos que, perto de , e se aproximam de zero. Para análise mais precisa, podemos usar aproximações de Taylor ou observar que as taxas com que essas funções tendem a zero levam a um fator de multiplicação. Eventualmente, após essas considerações, constatamos que o limite é .

Resposta

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Determine
d) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item ©
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
e)
Calcule os limites
f)
Calcule as integrais indefinidas
j)