Calcule os limites
c) lim x pi2-sec ^2(x)sec ^2(3 x)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve conceitos de limites e trigonometria, especialmente as funções secante. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções trigonométricas próximas de pontos específicos e talvez usar algumas técnicas de cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a secante é o inverso do cosseno. Ou seja, -sec^2(x)sec^2(3x) = -(1cos(x))^2(1cos(3x))^2 = -1cos^2(x)1cos^2(3x) = -cos^2(3x)cos^2(x) . Então, podemos reescrever a expressão do limite usando cossenos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com os cossenos quando se aproxima de :
Então, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de zero, o que nos dá uma forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos de uma técnica que lide com essa indeterminação, como a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital, que diz que se temos f(x) = cos^2(3x) e g(x) = cos^2(x) ou f'(x) = 2cos(3x) cdot (-sin(3x)) cdot 3 = -6cos(3x)sin(3x) , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Primeiro, identifiquemos g'(x) = 2cos(x) cdot (-sin(x)) = -2cos(x)sin(x) e :
Vamos derivar cada um:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital:
limx to pi2 -cos^2(3x)cos^2(x) = -limx to pi2 f(x)g(x) = -limx to pi2 f'(x)g'(x) = -limx to pi2 -6cos(3x)sin(3x)-2cos(x)sin(x)
Simplificando os sinais e os coeficientes:
- cdot -6-2 = - cdot 3 = -3
E as funções trigonométricas:
cos(3x)sin(3x)cos(x)sin(x)
Sabemos que, perto de , e se aproximam de zero. Para análise mais precisa, podemos usar aproximações de Taylor ou observar que as taxas com que essas funções tendem a zero levam a um fator de multiplicação. Eventualmente, após essas considerações, constatamos que o limite é .

Resposta

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