Calcule as integrais indefinidas a seguir:
b. integral sen^5(theta) cos ^4(theta) d theta.

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver a integral indefinida . Aqui estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente com potências de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração, como substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que a potência do seno é ímpar (), o que é uma dica para usarmos a técnica de substituição. Vamos separar uma potência de seno para facilitar a substituição:
Agora, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

A próxima etapa é expressar em termos de sen^4(theta) = (sen^2(theta))^2 = (1 - cos^2(theta))^2 . Sabemos que . Então, elevando ao quadrado:
Substituindo isso na integral:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = -sen(theta) dtheta Rightarrow -du = sen(theta) dtheta . Então, a derivada de integral (1 - u^2)^2 cdot u^4 cdot (-du) em relação a - integral (1 - u^2)^2 cdot u^4 du é:
Substituindo na integral:
Podemos tirar o sinal negativo para dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
- integral (1 - 2u^2 + u^4) cdot u^4 du
Substituindo de volta na integral:
- integral ( u^4 - 2u^6 + u^8 ) du
Multiplicando os termos:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
- ( integral u^4 du - 2 integral u^6 du + integral u^8 du )
Calculando as integrais:
integral u^4 du = u^55
integral u^6 du = u^77
integral u^8 du = u^99
Substituindo de volta:
- ( u^55 - 2 cdot u^77 + u^99 ) + C

Passo 7

Agora, substituímos - ( cos^5(theta)5 - 2 cos^7(theta)7 + cos^9(theta)9 ) + C de volta:
- cos^5(theta)5 + 2 cos^7(theta)7 - cos^9(theta)9 + C
Podemos distribuir o sinal negativo:

Resposta

A integral indefinida é:

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