Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve termos de e . Para resolver, vamos usar o método de Bernoulli, que é adequado para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, temos:

Passo 3

O método de Bernoulli sugere uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Vamos definir uma nova variável tal que:

Passo 4

Agora, derivamos em relação a :
Vamos rearranjar a equação original para expressar :
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de :
Para resolver essa equação, vamos usar um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as primitivas abaixo:
b. .
Calcule as integrais indefinidas a seguir:
b. .
Resolva:
Calcule . (Sugestão: use a regra de l