Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve termos de
e
. Para resolver, vamos usar o método de Bernoulli, que é adequado para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
O método de Bernoulli sugere uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Vamos definir uma nova variável
tal que:
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
:
Vamos rearranjar a equação original para expressar
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Para resolver essa equação, vamos usar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as primitivas abaixo:
b. .
b.
Calcule as integrais indefinidas a seguir:
b. .
b.
Resolva:
Calcule
. (Sugestão: use a regra de l