Calcule as seguintes integrais indefinidas:
c. integral cos (2 u) cos (4 u) d u.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado à matéria de cálculo, mais especificamente à integração de funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de cossenos em soma de cossenos, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos utilizar a identidade trigonométrica que transforma o produto de dois cossenos em uma soma. A identidade é:
cos(A) cos(B) = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
No nosso caso, e . Vamos aplicar essa identidade à integral.

Passo 3

Substituindo cos(2u) cos(4u) = 12 [cos(2u + 4u) + cos(2u - 4u)] = 12 [cos(6u) + cos(-2u)] e cos(-2u) = cos(2u) na identidade, temos:
cos(2u) cos(4u) = 12 [cos(6u) + cos(2u)]
Sabemos que , então:
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral cos(2u) cos(4u) , du = integral 12 [cos(6u) + cos(2u)] , du = 12 integral cos(6u) , du + 12 integral cos(2u) , du

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral cos(6u) , du = 16 sin(6u) + C em relação a integral cos(2u) , du = 12 sin(2u) + C é , onde é a constante de integração.
Integrando :
Integrando :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
12 integral cos(6u) , du + 12 integral cos(2u) , du = 12 ( 16 sin(6u) ) + 12 ( 12 sin(2u) ) + C
Simplificando:
= 112 sin(6u) + 14 sin(2u) + C

Resposta

A integral 112 sin(6u) + 14 sin(2u) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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